コンパクト空間からHausdorff空間への連続写像が閉写像であることの圏論的証明

証明：

($\implies$ の証明)
$X$ をコンパクト (compact) な空間とする。任意の空間 $T$ をとり、$X \times T$ の任意の閉集合 $C \subset X \times T$ に対して、像 $\pi_T(C)$ が $T$ の閉集合になることを示す。
$t_0 \in T \smallsetminus \pi_T(C)$ を任意にとる。このとき、任意の $x \in X$ について $(x, t_0) \notin C$ である。$C$ は閉集合なので補集合は開集合であり、直積位相の定義から各 $x \in X$ に対し開集合 $U_x \subset X$ と $V_x \subset T$ が存在し、$(x, t_0) \in U_x \times V_x \subset (X \times T) \smallsetminus C$ となる。
$\{U_x\}_{x \in X}$ は $X$ の開被覆となるが、$X$ はコンパクトなので有限部分被覆 $U_{x_1}, \dots, U_{x_n}$ が存在する。ここで $V = V_{x_1} \cap \dots \cap V_{x_n}$ とおくと、$V$ は有限個の開集合の共通部分なので $t_0$ を含む $T$ の開集合である。
任意の $x \in X$ はある $U_{x_i}$ に含まれるため、$x \in U_{x_i}$ かつ $V \subset V_{x_i}$ より、$X \times V \subset \bigcup_{i=1}^n (U_{x_i} \times V_{x_i}) \subset (X \times T) \smallsetminus C$ となる。これは $(X \times V) \cap C = \varnothing$、すなわち $V \cap \pi_T(C) = \varnothing$ を意味する。よって $\pi_T(C)$ の補集合は開集合であり、$\pi_T(C)$ は閉集合である。

($\impliedby$ の証明)
背理法で示す。$X$ がコンパクト (compact) でないと仮定する。このとき、有限交差性 (finite intersection property) を持つが、全体の共通部分が空集合 ($\bigcap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda = \varnothing$) となるような $X$ の閉集合族 $\mathcal{F} = \{F_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ が存在する。
新しい位相空間 $T = X \cup \{\infty\}$ （$\infty \notin X$）を構成し、次のように開集合を定める：
1. $X$ の任意の部分集合は $T$ でも開集合である（すなわち、$T$ において $X$ の各点は孤立点である）。
2. $\infty$ を含む $T$ の部分集合 $V$ は、ある有限個の $F_{\lambda_1}, \dots, F_{\lambda_n} \in \mathcal{F}$ が存在して、$F_{\lambda_1} \cap \dots \cap F_{\lambda_n} \subset V$ が成り立つとき、かつそのときに限り開集合である。
ここで、直積空間 $X \times T$ の部分集合 $C$ を次のように定義する：
$$C = \{ (x, t) \in X \times X \mid x \in \overline{\{t\}}^X \}$$ （ただし $\overline{\{t\}}^X$ は位相空間 $X$ における部分集合 $\{t\}$ の閉包である）。
まず、$C$ が $X \times T$ の閉集合であることを示す。$(x, t) \notin C$ を任意にとる。
ケース1： $t \in X$ の場合。定義より $x \notin \overline{\{t\}}^X$ である。$U = X \smallsetminus \overline{\{t\}}^X$ とおくと、$U$ は $X$ の開集合であり、$x \in U$ かつ $t \notin U$ となる。$V = \{t\}$ とおくと、$V$ は $T$ の開集合である。$(U \times V)$ は $(x, t)$ の開近傍となる。任意の $(x', t') \in U \times V$ について、$t' = t$ かつ $x' \in U$ である。$U$ の定義より $U \cap \overline{\{t\}}^X = \varnothing$ であるから $x' \notin \overline{\{t\}}^X = \overline{\{t'\}}^X$ となり、$(x', t') \notin C$ がいえる。ゆえに $(U \times V) \cap C = \varnothing$ である。
ケース2： $t = \infty$ の場合。定義から自明に $(x, \infty) \notin C$ である。$\bigcap \mathcal{F} = \varnothing$ より、$x \notin F_\alpha$ となる $F_\alpha \in \mathcal{F}$ が存在する。$U = X \smallsetminus F_\alpha$ とすると、$U$ は $X$ の開集合で $x \in U$。また $V = \{\infty\} \cup F_\alpha$ とおくと、$F_\alpha \subset V$ を満たすので $V$ は $T$ の開集合である。任意の $(x', t') \in U \times V$ を考える。$t' = \infty$ ならば $(x', t') \notin C$。$t' \in X$ ならば $t' \in F_\alpha$ となり、$F_\alpha$ は $X$ の閉集合なので $\overline{\{t'\}}^X \subset F_\alpha$。一方 $x' \in U$ より $x' \notin F_\alpha$ であるから $x' \notin \overline{\{t'\}}^X$ となり、$(x', t') \notin C$。ゆえに $(U \times V) \cap C = \varnothing$ である。
以上より $C$ は閉集合である。しかし、任意の $t \in X$ に対して $(t, t) \in C$ であるため、その射影は $\pi_T(C) = X$ となる。
$\pi_T$ が閉写像であるという仮定のもとでは、$X$ は $T$ において閉集合でなければならない。すなわち補集合 $\{\infty\}$ は開集合となる。$T$ の開集合の定義より、有限個の要素を用いて $F_{\lambda_1} \cap \dots \cap F_{\lambda_n} \subset \{\infty\}$ となるはずである。これら $F_{\lambda_i}$ は $X$ の部分集合なので、左辺は $X$ に含まれる。したがって $F_{\lambda_1} \cap \dots \cap F_{\lambda_n} = \varnothing$ となるが、これは $\mathcal{F}$ の有限交差性に矛盾する。
よって射影は閉写像にはなり得ず、定理の逆が証明された。 $\blacksquare$

証明：

($\implies$ の証明)
$Y$ をHausdorff空間 (Hausdorff space) とし、$T$ を任意の位相空間、$f: T \to Y$ を連続写像 (continuous map) とする。$T$ の任意の閉集合 $A \subset T$ に対し、像 $(id_T, f)(A) = \{ (t, f(t)) \mid t \in A \}$ が $T \times Y$ で閉集合であることを示す。
$(t_0, y_0) \notin (id_T, f)(A)$ とする。
ケース1： $t_0 \notin A$ の場合。
$A$ は閉集合なので、$U = T \smallsetminus A$ は $t_0$ を含む開集合である。このとき、$U \times Y$ は $(t_0, y_0)$ の開近傍となる。任意の $(t, y) \in U \times Y$ について $t \notin A$ であるから、$(U \times Y) \cap (id_T, f)(A) = \varnothing$ となる。
ケース2： $t_0 \in A$ の場合。
条件より $y_0 \neq f(t_0)$ である。$Y$ はHausdorff空間なので、$f(t_0)$ の開近傍 $V_1$ と $y_0$ の開近傍 $V_2$ で $V_1 \cap V_2 = \varnothing$ となるものが存在する。
$f$ は連続なので、$U = f^{-1}(V_1)$ は $t_0$ の開近傍となる。このとき $U \times V_2$ は $(t_0, y_0)$ の開近傍である。任意の $t \in U \cap A$ に対して $f(t) \in V_1$ であり、$V_1 \cap V_2 = \varnothing$ より $f(t) \notin V_2$ である。したがって $(U \times V_2) \cap (id_T, f)(A) = \varnothing$ となる。
補集合の任意の点が交わらない開近傍を持つため、$(id_T, f)(A)$ は閉集合である。

($\impliedby$ の証明)
任意の $T$ と連続写像 $f$ に対し $(id_T, f)$ が閉写像であるとする。$T = Y$ とし、$f$ として恒等写像 $id_Y: Y \to Y$ をとる。
仮定より、$(id_Y, id_Y): Y \to Y \times Y$ は閉写像である。$Y$ は自身の閉集合であるから、像である対角集合 $\Delta_Y = \{ (y, y) \mid y \in Y \}$ は $Y \times Y$ の閉集合となる。
対角集合が閉集合であることと、空間がHausdorff空間であることは同値である。実際、相異なる任意の2点 $y_1, y_2 \in Y$ に対して $(y_1, y_2) \notin \Delta_Y$ であり、$\Delta_Y$ が閉集合であれば、$(y_1, y_2)$ の開近傍 $V_1 \times V_2$ で $\Delta_Y$ と交わらないものがとれる。これは $V_1 \cap V_2 = \varnothing$ を意味し、$y_1, y_2$ は開近傍で分離されるため、$Y$ はHausdorff空間である。 $\blacksquare$

証明：
$g: X \to Y$ を連続写像とし、$A \subset X$ を任意の閉集合とする。$g(A)$ が $Y$ において閉集合であることを示せばよい。
まず、$Y$ がHausdorff空間であることから、補題2において $T = X$, $f = g$ と適用することで、写像 $$(id_X, g): X \to X \times Y$$ は閉写像となる。したがって、$X$ の閉集合 $A$ の像であるグラフの部分集合 $$\Gamma_A = (id_X, g)(A) = \{ (x, g(x)) \mid x \in A \}$$ は $X \times Y$ において閉集合となる。
次に、$X \times Y$ から $Y$ への射影 $\pi_Y: X \times Y \to Y$ を考える。$X$ がコンパクトであることから、補題1において $T = Y$ と適用することで、$\pi_Y$ は閉写像となる。
閉写像は閉集合を閉集合に写すため、 $$\pi_Y(\Gamma_A)$$ は $Y$ において閉集合である。
ここで、この集合を計算すると、 $$\pi_Y(\Gamma_A) = \pi_Y( \{ (x, g(x)) \mid x \in A \} ) = \{ g(x) \mid x \in A \} = g(A)$$ となる。ゆえに $g(A)$ は $Y$ の閉集合である。これで $g$ が閉写像であることが証明された。 $\blacksquare$